Исследуем IndependentChipModel (ICM)

Основные особенности ICM

Главное– это важность допущений. Для определения точной стоимости фишек, находящихся у оппонентов, необходимо составить верное допущение. Допущение в данном случае – вероятность на победу у игрока равняется числу его собственных фишек. Например:

1. При условии, что на руках у игрока половина фишек от общего количества за игровым столом, то его шансы на победу составляют около 50%.
2. Аналогично, если на руках у участника 10% от всех фишек, то и его возможность сорвать куш равняется приблизительно 10%.  

Из этого следует, что для 100% вероятности на победу, нужно постараться собрать у себя на руках 100% фишек. 

Для выполнения вышеизложенных допущений важно, чтобы выполнялось следующее условие: игра ведется на среднем игровом уровне, как и игры большинства покерных турнирных игроков. Конечно, некоторые могут поспорить и раскритиковать данное предположение, однако на сегодняшний день это единственное допущение на котором основываются подсчеты. 

Итоговое распределение наград

Для некоторых покерных участников цель победить за покерным столом не всегда единственно важна. Так как благодаря существующему распределению наград в покере, второе, третье и любые другие места могут быть вознаграждены по окончанию турнира, все зависит от начальных договоренностей. Поэтому, даже не став первым победителем, игрок имеет возможность забрать приз, тем самым увеличить размеры собственного банка. 

При расчете доли вознаграждения на турнире за то или иное место, беря за основу количество игровых фишек на руках, необходимо сначала подсчитать вероятность того, -сможет ли участник занять какое-то призовое место, затем, умножить порядковый номер призового места на стоимость его вознаграждения. В результате, после того, как сложатся все части продолжительно доли игрового банка, будет получено значение ICM. 

Не пугайтесь этих расчетов, это только на первый взгляд кажется сложным и невыполнимым. Трудность заключается лишь  в том, что в турнире может принимать участие огромное количество игроков, как следствие, мест с призом будет довольно много. Стоит учесть, что каждый из подсчетов основывается на небольшом числе неоднозначных предположений. 

Если читатель еще не испугался подсчетов и читает статью дальше, то для него приводится пример верных подсчетов ICM, когда в турнире принимают участие три игрока.

В этом примере турнир, на котором осталось всего три участника и два места с вознаграждением. Представим в виде таблиц участников и их количество фишек, а также места и суммы вознаграждений.

Если Ваня не победит, то победителем станет Сережа или Саша. Как уже было сказано ранее, возможность того, что кто-то из них победит, равняется процентной составляющей фишек каждого из игроков к общему количеству фишек, задействованных в турнире. То, что необходимо сделать в данном случае – подсчитать шансы Ивана на победу со второго места. 

Если читатель дошел и до этого места, то его ждет награда, ведь дальше будет только интересней. Представляем ICM-волшебство!

Первый игрок, который имеет наибольшее число фишек – Ваня. Количество его фишек равняется половине от общего их числа на турнире. Если бы призовое место на данном турнире было одно, то, вспомнив допущение, изложенное выше, можно было бы рассчитать его вероятность на победу и возможный выигрыш. Так, он бы равнялся произведению процента количества его фишек от общего количества, то есть 50%, на размеры приза (400). Следовательно, вероятный выигрыш составил бы 200 долларов. Однако тут нужно учесть, что Иван может занять и второе место, если первое окажется ему не по зубам.

Так, если в турнире первое место занимает Сережа (вероятность на его победу составляет около сорока процентов), то Ване для того, чтобы взять приз за второе место остается только обыграть Сашу. Ваня и Саша в сумме имеют шестьсот фишек, из которых большей  частью владеет Иван. Вспомнив наше основное допущение, получаем, что шансы Вани на победу над Сашей равняются 83%, если учесть, что на турнире победил Сережа.

Не сложно же? Но не все покерные старожилы и эксперты соглашаются с такими подсчетами.

На сегодняшний день создано множество моделей, которые призваны помочь в подсчетах вероятности на победу конкретного игрока в конкретной игре при известных условиях. Но калькуляторы, встроенные на покерных сайтах, ведут свои подсчеты именно по системе подсчеты по системе ICM. 

Используя модель, представленную в предыдущих примерах, можно подсчитать вероятность победы Александра на турнире, которая будет равняться 10%, тогда как оценка вероятности на победу Ивана и Сергея составит 56% (получено из деления 500/900).

Следовательно можно подсчитать вероятность Ивана на победу со второго места, которая составит 0,39 (сумма произведений (0,40х0,83) и (0,10х0,56).

После всех подсчетов, можно получить сумму, которую Иван заберет в случае своей победы, она будет равнять 239 долларам. Этот выигрыш состоит из результата произведения (0,50х400) и (0,39х100).

Отметим интересный факт, что возможная сумма выигрыша у игрока с небольшим стеком больше, чем от того заслуживает.

Интересно, что, несмотря на то, что у Ивана половина от общей суммы фишек, его возможный приз не составит даже половины от всего призового фонда. Это происходит из-за особенностей структуры распределения выигрышей. Причина такой несправедливости кроется в вероятности на победу. Так как он возьмет второе место не в 50% случаев, поэтому предполагаемая доля его выигрыша снижается.  

Подсчитает вероятную долю приза Александра на турнире, она будет равняться 57 долларам. А вероятность того, что Саша возьмет второе место составляет 0,17 (то есть сумма произведений (0,50х0,20) и (0,40х0,17)).  

Проанализировав полученное, видно, что сумма в 57 долларов превышает 10% от стоимости турнирного фонда. Таким образом, 10% Сашиных фишек стоят дороже, чем 10% от общей призовой суммы. Часть денег, оставшаяся от Ваниных потерь, автоматически переходит Сергею и Александру.

Для того, чтобы получить стоимость одной игровой фишки для каждого участника, разделим возможные призовые доли на количество фишек у игроков. 

Исходя из этих знаний, турнирные игроки могут сделать выводы, касающиеся выбора игровой стратегии. Например, принимая важное игровое решение не стоит основываться только на подсчетах математического ожидания на победу, необходимо учитывать и показатель ICM.  Таким образом, становится очевидным, что игрокам с небольшими стеками, заплатят больше, чем тем, кто имел крупные стеки. Поэтому, чем меньшего размера стек у участника, тем большую стоимость имеет каждая из его фишек, это еще раз подтверждает наше предположение, высказанное в начале статьи. 

Это очень обширная и сложная тема, поэтому в данной статье речь пойдет только о самом главном.

Далее расскажем читателю о том, что ICM может объяснить большое количество рассуждений, касающихся связи побед и размеров стеков.

Так, беты, сделанные игроками с небольшими стеками, имеют более высокую стоимость, в сравнении с бетами, сделанными участниками с большими стеками. Если за покерным столом кто-то поставит бет, то игроку с маленьким стеком делать колл не стоит, так как за него он может заплатить крупную сумму. Отсюда и преимущество в возможностях агрессивной игры у соперников с большими стеками, в сравнении с игроками с небольшими стеками. 

Немного подробнее об ICM

Тем читателям, которым интересно знать про ICM еще больше, советуем внимательно прочитать следующее. Продолжим рассматривать пример, который начали выше.

Присвоим определенные обозначения различным возможным турнирным исходам.  Так

• А – количество фишек Ивана,
• В – количество Сережиных фишек,
• С – количество фишек Александра
• А1 – победа Ивана с первого места,
• А2 – победа Ивана со второго места,
• В1 – Сергей на первом месте,
• С2 – Александр на втором месте. 

Вспомним, что еще в самом начале данного изложения было выдвинуто допущение, в котором говорилось, что вероятность на победу для каждого участника равняется процентному отношению количества его фишек к общему количеству фишек в стеке. Это предположение обозначили как а, b, с.

1. Вероятность победы Ивана с первого места Р (А1) приравнивается к вероятности на победу Вани (а) и определяется как частное между числом фишек Ивана (А) и суммы фишек всех игроков за покерным столом
   Р(А1) ≡А/ (А+В+С).
2. Вероятность победы Сергея с первого места Р (В1) приравнивается к вероятности на победу Сережи (b) и определяется как частное между числом фишек Сергея (В) и суммы фишек всех игроков за покерным столом
   Р(В1) ≡В/(А+В+С).
3. Также, вероятность победы Александра с первого места Р (С1) приравнивается к вероятности на победу Саши (с) и определяется как частное между числом фишек Саши (С) и суммы фишек всех игроков за покерным столом
   Р(С1) ≡С/ (А+В+С).

Проводя расчеты, касающиеся вероятности на победу каждого конкретного игрока со второго места, важно отметить, что для любого участника есть только два варианта исхода – победа достанется одному из его оппонентов. 

Для каждого из вариантов, возможность на победу можно рассчитать следующим способом:

Вероятность победы Ивана со второго места равняется вероятности победы со второго места Вани или Сережи с первого, умноженная на вероятность на победу Сергея, плюс вероятность победы Ивана со второго места или Александра с первого, умноженная на возможность победы Александра. 

Для подсчета вероятностей других исходов используется аналогичная модель

В наших формулах можно встретить такое обозначение P(A2|B1) – оно значит возможность наступления такого события, что Иван победит со второго места, тогда как победа на всем турнире достанется Сергею. Для расчета такой вероятности необходимо определить разность между конечным числом фишек Ивана и конечным количеством фишек Сергея (то есть суммы фишек Ивана и Александра).

Для сложившейся ситуации самое первое выражение можно преобразовать в следующее

Р(А2)=А1х{В1/(1-В1)+С1/(1-С1)}

Аналогично этому выражению можно рассчитать любую из интересующих игрока вероятностей.

Рассмотрим и подсчитаем вероятности того, что кто-то из участников займет второе место

Как уже неоднократно упоминалось выше, возможность того, что кто-то из участников турнира возьмет приз за второе место равняется, приблизительно, количеству его фишек по отношению к их общему числу, за вычетом фишек, которые предназначены для игрока, занявшего первое место. 

Для большинства покерных теоретиков такой подход кажется странным, поэтому постоянно ведутся поиски других вариантов подсчета, основанные на размерах стеков игроков в конкретные временные моменты. Однако, если подойти к варианту, рассмотренному и предложенному в данной статье немного с другой стороны, то он становится более понятным и полностью логичным. 

Предположим, что победителем на турнире станет Сергей. Оппоненты по очереди будут покидать игровой стол. Иван имеет пятьсот фишек, Александр – сто. Правильно будет предположить, что при таком раскладе первым соперником, покинувшим игровой стол, должен стать Александр. Вероятность такого исхода равняется пять к шести, при условии однократного повторения ситуации. 

По-другому говоря, Александр проиграет в 83 процентах случаев. Эта вероятность равняется вероятности на то, что в данном турнире со второго места победит Иван.

Такое предположение можно относить к верным или ошибочным, однако именно оно применяется при расчетах с помощью онлайн-калькуляторов. 

Выше были рассмотрены ситуации, когда за игровым столом находилось только три противника. А как обстоит дело, если участников больше?

Ничего нового в такой ситуации не произойдет, все подходы и принципы расчетов остаются аналогичными. Появляется только дополнительная громоздкость и сложность в составлении формул и проведении подсчетов. 

Пример турнира с тремя призовыми местами и четырьмя участниками 

Оставим выбранные условные обозначения такими же как раньше, только добавим четвертого игрока и его вероятность на победу обозначим буквой А4, а количество его фишек – D.

Для того, чтобы рассчитать вероятность того, что четвертый игрок займет призовое место будем также определять частное между событиями и вероятными их исходами.

Составим формулу, которая подойдет для расчета вероятностей на победу каждого из участников. Возьмем, например, вероятность на победу Ивана. Итак, она будет равняться частному от количества Ваниных фишек и суммы фишек всех четырех участников:

P(A1) ≡А1=А/(А+В+С+D)

Постараемся составить формулу, которая позволит любому участнику победить со второго места:

P(A2) = Р(А2/В1) × P(B1) + P(A2|C1) × P(C1) + P(A2|D1) × P(D1), где

Р(А2|В1) - вероятность на победу Сергея или второго места у Ивана;

P(A2|C1) - вероятность победы Александра или второго места Ивана;

P(A2|D1) - вероятность на победу четвертого участника или второго места у Ивана.

Для того, чтобы подсчитать вероятность занятия третьего места одним из игроков, необходимо составить по аналогичному образцу формулу, которую нет необходимости приводить.

Для того, чтобы подсчитать вероятность на победу того или иного игрока со второго места, можно использовать знания о роли доли фишек каждого из участника, отнесенной к количеству оставшихся фишек, после ухода одного из игроков.   

Например, P(B2/C1) равняется (B) умножить на частное (1/(A+B+D)). 

Разберем формулу подробней.  При условии, что Иван займет третье место, а Сергей второе, то на турнире победит Александр, или же четвертый игрок. Так снова получится пара уникальных ситуаций, при условии, что в подсчетах нами используется доля фишек участников от общего их количества за игровым столом, оставшихся после того, как кто-то победил, а кто-то занял второе место. 

P(A3/B2) равняется  (A) умножить на (1/A+D + A × 1/A+C).

Бесспорно, такой подсчет вероятностей выглядит достаточно страшно, а представить такой подсчет для нескольких игровых столов с большим количеством участников вообще кажется невозможным. Однако, нет ничего невозможного, просто такие подсчеты громоздки и их целесообразно выполнять с помощью специальных онлайн калькуляторов и компьютерных программ.