Expected Value - в плюс или в минус?

Что же такое EV?

«Expected Value» или EV это математическое ожидание в данной руке результата для вас. Если вы выигрываете, то матожидание для вас положительное, если проигрываете – отрицательное. Это средний результат большого количества розыгрышей для одной руки.

Если число выигрышей больше (или их размер), то EV имеет положительное значение, а, если больше число проигрышей (или их размер), то EV отрицательное.

Может показаться, что EV ничего общего с  реальностью не имеет. Рассмотрим, для примера, ситуацию:

• Вы разыгрываете банк  в 100 ВВ, но EV у вас - 1 ВВ.
• Вы должны понимать, что результаты в покере будут заметны только после розыгрыша большого количества рук.
• И из всего этого количества вы можете выбирать определенный тип рук.
• Если их разыграно достаточно много, и результатом в этих руках будет EV умноженное на количество именно этих рук.
• Для расчета EV нужны все потенциально возможные вероятности исходов игры и все проигрыши и выигрыши в каждом из этих исходов.
• В итоге, EV будет представлять сумму из произведений каждой такой вероятности на соответствующие этой вероятности выплаты с плюсом или минусом.

EV будет равно Вероятности результата 1 умноженной на Выигрыш 1 плюс... плюс Вероятности результата N умноженной на Выигрыш N. 

Пример расчета EV 

Вы имеете на флопе флеш. Банк составлял 2$ на момент открытия флопа, вы сделали ставку в 1$, ваш противник, имея более сильную руку, сделал рейз до 3$. В вашем стеке остается 4$, а у противника больше.

Есть несколько вариантов розыгрыша такой руки – олл-ин, колл или фолд.

При первом варианте

Вы можете сбросить свои карты и ничего не проиграете, но и не выиграете ничего. В данном случае EV для вас будет равно нулю. Обратите внимание, что сделанная вами на флопе ставка не учитывается, потому что уже находится в банке.

При втором варианте

Вы можете коллировать свою ставку. Здесь есть несколько разных ситуаций: 

1. Ваш аут пришел на терне, вы сделали ставку, а ваш противник при этом сбросил карты (будем считать для  упрощения, что противник всегда сбрасывает).
2. Ваш аут не пришел не терне, противник сделал ставку в 2$, вы делаете олл-ином колл по шансам банка.
3. Если ваш аут приходит на ривере с вероятностью 19,6%, то вы выигрываете банк в 12$, а если нет, то проигрываете.

Рассчитаем EV для такого случая:

• EV = размер вашей колл ставки – 2, плюс вероятность на терне аута – 0,192, умноженное на выигравший на терне банк – 8, плюс вероятность, что на терне аута не будет – (1 – 0,192), умноженное на результат дальнейшей игры. 
• Здесь, результат дальнейшей игры будет размер вашей колл ставки на терне – 2, плюс вероятность на ривере аута – 0, 196, умноженное на размер, выигранного на ривере, банка – 12, плюс вероятность, что на ривере аута не будет – (1 – 0,196) умноженное на 0 – результат, когда вы не выигрываете.
• Сделав подсчеты, получаем результат дальнейшей игры = +0,352$. Подставим это в общий расчет и получим:  EV = – 0,18$.

По шансам банка мы определили, выгоден ли на терне колл и размер выигрыша, в среднем, в такой ситуации.

Таким же образом можно подсчитать, насколько невыгоден на флопе колл и размер проигрыша, в среднем, в такой ситуации. Так как это оставшийся малый стек, то сюда входит и плюсовой результат на терне и ривере. С большим стеком итог был бы еще хуже.

1. Обратите внимание, что в примере мы записали  EV немного по-другому, чем в формуле. Размер ставки мы вынесли в начало, при расчете ветвей возможностей учитывали эту ставку в банке. Начальная формула при этом выглядела бы так: EV = 0,192*6 (выигрывающий банк, без колла) + (1 – 0,192) * (- 2 (ставка колла на флопе) + результат дальнейшей игры).
2. По другой версии, EV считают от любого произвольно взятого момента, где учитывают предыдущие значения каждый в отдельности (тогда считают EV после сделанной ставки, и вычитают эту ставку отдельно). Проверив расчетом, можно убедиться, что оба варианта записи дают одинаковый результат, но вариант в нашем примере представлен нагляднее, поэтому стоит пользоваться при расчетах им, выписывая все  ветви игры последовательно.
3. При третьем варианте вы сразу можете пойти олл-ин. В этом случае предполагаем вероятность 30% за то, что соперник сбросит карты, и 70% за то, что он ответит, тогда предполагаем, что на следующих улицах какой-то из ваших аутов придет с вероятностью в 35% (и вы выигрываете банк в $12), или, что аут не придет, и вы проигрываете.

Расчет EV

EV = размер вашей ставки олл-ин - -4, плюс вероятность, что противник сбросится – 0,3, умноженное на размер банка после олл-ина -10, плюс вероятность, что противник колирует – 0,7 умноженное на результат шоудауна.

Вычислим результат шоудауна, который будет равен вероятности, что аут выйдет – 0,35, умноженное на общий размер банка – 12, плюс вероятность, что аут не выйдет – 0,65, умноженное на 0 – результат, когда не выигрываете, получаем +4,2$.

Подставляем в формулу и вычисляем  EV:  EV= +1,94$

Из данного примера видно, что решение пойти олл-ин даст выигрыш в среднем почти в 2$, что является лучшим результатом из трех рассмотренных вариантов.

Разобрав все слагаемые формулы EV, можно увидеть, что для EV основную прибавку дает фолдэквити, которая учитывает возможность фолда соперника. Без нее результат хоть и положительный, но всего лишь +0,2$.

Поэтому для расчета EV очень важно правильно учитывать вероятность фолда соперника.

Рассмотрим, почему же, если коллировать на ривере и флопе ставки, EV получаем отрицательное, которое меньше EV олл-ина, даже без учета фолдэквити. Здесь надо учитывать, что сделано для колла, если на терне пришел аут, то соперник еще может сброситься и отдать маленький банк. А, если пойти олл-ин, то можно получить максимум. Конечно, все время идти олл-ин нет необходимости, так как в каждой ситуации нужен свой расчет, но то, что игра с коротким стеком  выгодна и за счет чего и так понятно.

Общая методика расчета EV

Определить все возможные сценарии или "ветви", по которым игра может развиваться.

1. Сперва определяем все возможные продолжения для каждого хода, доходя до конца руки. Для упрощения расчета, и, если вы уверены, что это не исказит существенно итоги, можно отдельные ветви заменять сразу их результатом. Например, при расчете EV колла, предполагаем, что соперник сбросится обязательно, увидев третью карту одной масти на терне. Но можно предположить, что соперник сделает колл на вашу ставку 2$ с вероятностью в 20%, и добавить к выигранному банку на терне 0,2*2$ = 0,4$
2. Определить вероятность для каждого сценария игры, которая зависит от противников и прочих карт стола. Здесь приходится полагаться на свою оценку игроков и карт, поэтому соперников своих вы должны очень хорошо знать.
3. Определить для каждого варианта результат окончания игры.
4. Результат игры умножаем на ее вероятность и по каждому сценарию.
5. Сравнив результаты в каждом сценарии, выбираем лучшую тактику действий.

Обратите внимание!

1. В любой момент игры вам необходимо обеспечивать максимальное значение EV. Сколько бы вы не вложили в банк, не имеет значения, так как это уже не ваши деньги, они принадлежат банку. Имеет значение, сколько вы хотите еще вложить, и сколько получите в результате. Сбрасывайте, не жалея ранее вложенных денег, если результат не окупит новых вложений.
2. В каждый момент вы должны принимать самое оптимальное действие. Во время расчета EV колла вы должны рассматривать и другие возможности, даже, если по шансам банка вам выгоден колл на терне. 
3. Фолдэквити переоценивать нельзя. Это достаточно важно, но, если неверно оценить вероятность фолда на результате это может сказаться отрицательно.
4. Во время расчета необходимо помнить, что, если соперник на вашу ставку не сбрасывается, то у него, скорее всего , рука лучше, чем вы предполагали сначала, поэтому расчеты дальше нужно вести с учетом этого факта, и, например, дополнительные ауты дисконтировать.